数学、莫扎特和《白鲸记》的“三角关系”

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编者按：你喜欢数学吗？相信这个简单的问题，对很多人来说却很头疼——呵欠连天的高数课，解不完的方程式，还有每次惊心动魄的考试回忆。但其实，当我们发现数学出现在一些意想不到的地方时，也会惊叹于它的美。比如在小说的字里行间，比如在曼妙的旋律音符里。现在，让我们和“数学女超人”哈特教授一起，进入她奇妙有趣的数学宇宙吧！本文译自The New York Times，作者Siobhan Roberts，原标题为“Triangulating Math, Mozart and ‘Moby-Dick’”，希望对您有所启发。

对数学家莎拉·哈特来说，阅读《白鲸记》不仅仅意味着在读“世上最古怪又最优秀的小说”（用大卫·赫伯特·劳伦斯的话来说）或者“迄今为止写航海主题的小说最好的之一”，更是在读一部充满各种数学隐喻的作品。

来自伦敦大学伯贝克学院的哈特教授在二月一场名为“通往科幻小说世界的数学奇旅”的演讲中说到，“赫尔曼·梅尔维尔本人非常热爱数学，这点可以从他的书里看出来。”

“当梅尔维尔使用引用或比喻手法写作时，他经常用到数学领域的东西，”哈特教授说。“《白鲸记》里有很多美妙有趣的数学知识。”

在故事一开始，叙述者以实玛利讲到了大鲸客店那个吝啬的老板和他那些瓶瓶罐罐们：“可恶的是他那些装酒的大杯子。外表上虽然的确是圆筒体，可是，那些讨厌的绿色玻璃杯子却在中间狡诈地往下逐渐缩小，变成一种骗人的杯底。在这些拦路贼也似的酒杯四周，还粗拙地刻有平行的一格一格。”

注：此段译文摘自上海译文出版社1982版中文译本《白鲸》，译者曹庸。 

此外，在故事的尾声，亚哈船长在夸赞他忠诚的船员比普时还用到了几何：“小伙子，你就像圆周对圆心一样忠贞不渝。”

哈特教授还写了一篇论文进一步探讨《白鲸记》和数学的关系。论文题目叫做《亚哈船长的算术：‘白鲸记’中隐含的数学》，于近期发表在《人文数学报》上。她在论文中提到，梅尔维尔所引用的数学知识点，数量之多，用法之精，证明了他扎实的数学功底和出色的运用能力。哈特教授认为，梅尔维尔的数学特质得益于他从小受到的“优于常人的数学教育”。她总结说，“梅尔维尔十分享受数学本身，以及和数学有关的天马行空想法，这种热爱投射到了他的作品里。”

哈特教授对数学（以及对生活整体）有着洋溢的热情。她在二月份的那场演讲，是她在伦敦格雷沙姆学院所做关于数学与文学、音乐交叉研究的系列线上演讲的最近一场。去年春天，格雷沙姆学院授予她几何学教授头衔。该头衔设立于1597年，是英国历史最悠久的数学领域教学职位。哈特教授是第33位获此殊荣的学者，更是首位获此殊荣的女性。

在提交给格雷沙姆学院的申请中，哈特教授提到让她对这个职位，以及15年前加入的伯贝克学院——为伦敦的上班人群教授夜课的学校，产生兴趣的重要契机：“这两个机构的立校之本，和我心之所向的东西非常契合，那就是为不同背景出身的人提供学习的机会。”

哈特教授说，她的双职业核心一方面聚焦于研究数学（专门研究群论和对称数学），另一方面传授数学知识（她以前给900名学生讲过一场叫做《如何证明绝对存在》的讲座）。

哈特教授生于教育世家，父母都是持有数学学位的教师。1993年，哈特还在读高中的时候，她去听了当时在任教授克里斯托弗·塞曼的一场关于服装制作中的数学的演讲，那是她第一次知道格雷沙姆学院的几何学教授这个职位。

格雷沙姆学院的教学任务包含18场公共演讲，一年六场，连续三年。哈特教授选定的演讲主题是《数学，文化和创意》。这个选题所涉及到的广博知识面，让哈特教授的好奇心可以大为派上用场。单单是写讲稿，她又和以往一样，写了比60分钟演讲时长多一倍的内容。

“我对所有事情都有非同一般的兴趣，”哈特教授在她位于伦敦东部沃尔瑟姆斯托的家中说到。疫情居家期间，她所感兴趣的“所有事情”范围扩大到和10岁、14岁的两个女儿一起上课，课程内容包括回文数、折纸、密码破译、几何图样、认识论和拉丁语。

哈特博士喜欢和女儿玩猜句子出处的小游戏：“说出‘让一句台词放飞自我’的是保罗·克利吗？”她问到。对她自己满溢的兴趣，她则说：“我也想要让我的灵感放飞自我。”

在格雷沙姆学院任教的一个有意思的地方，是和历史的不期而遇（注：哈特教授也是英国数学史协会的主席）。在撰写第二场关于"声音中的数学"演讲底稿的时候，她意外发现了塞缪尔·佩皮斯在1668年4月写的日记。佩皮斯到格雷沙姆学院附近的King‘s Head酒馆去和朋友聚餐，在那里，他听到了英国皇家协会首任主席威廉·布朗克和格雷沙姆学院当时的几何学教授罗伯特·霍克之间的对话。他们就均一振动所产生的、存在音乐中的和谐音及不和谐音进行了一番争辩。

哈特教授在格雷沙姆学院的系列讲座在去年秋天与学生见面。她的演讲主题是"音乐中的数学范式和结构"——例如分形作曲。 哈特教授说，分形的关键特征（例如曼德布罗集）是它的"自相似性"。

对于分形音乐，她说：“当你把相同的图案放大或缩小，会看到它们以越来越小的比例不断重复。” 为了帮助理解分形，哈特教授让学生想象蕨类叶片的递归结构，或者想象俯瞰视角下的海岸线造型。 此外，分形音乐还表现出不同程度的自相似性，而又可以很好地融合音高和节奏。 例如芬兰作曲家凯娅·萨里阿霍在她的作品《Nymphéa》中，就使用了分形生成器来演奏弦乐四重奏。 在这个过程中，电脑计算出的节奏和旋律音符彼此交替变换，又重复不停。

哈特教授还深入研究了群理论和对称性，并将它们作为一种创新实验形式应用于音乐创作中。 用小提琴演奏的莫扎特的《镜子》二重奏，就通过音乐的形式表现了数学中的旋转对称性。 两位小提琴家坐在一张桌子的两头，看着同一份乐谱，同时演奏这首曲子——其中一位从开头到结尾顺序演奏，另一位则从结尾到开头倒序演奏。 哈特教授说：“这样做，第一位小提琴家演奏的音律与第二位演奏者演奏的音律其实是相同的，区别只是顺序发生了180度调转。”

她还谈到了音乐中蕴含的概率和随机性，提到了18世纪意大利的一种音乐棋盘游戏。这个游戏的有趣之处在于“ 无限组合出中段小步舞曲”。 游戏的玩法是：玩家掷骰子，然后从海顿创作的六个音乐剧片段中选择一个，一个小节一个小节地完成一整首十六小节圆舞曲。

然而，哈特教授并不认同这个游戏机制的解释。她不认为用棋盘游戏的掷骰子方法可以组合出无数种小步舞曲。 假设海顿写的所有小节都不同，那么六个选择中包含16个连续细项，最终能生成的小步舞曲数有61?种。哈特教授注意到，海顿的六首作品中的四首都用了相同的尾音段，又在其中三首的第八段用了同一个段落。“看来某人（海顿）有些懒惰噢，”她说。 这样看，实际上可能的舞曲数量在61?×4×3 = 940,369,969,152首左右，或者说接近一万亿首。

在于下个周二进行的讲演中，哈特教授考虑讲一讲数学在文学中的应用。这其中包括了云集法国数学家及作家的“Oulipo潜力文学工坊”，数学细胞发达的阿根廷作家豪尔赫·路易斯·博尔赫斯和他的短篇小说《通天塔图书馆》，还有迈克尔·克里顿的《侏罗纪公园》。

她还讨论了2013年布克奖获得者埃莉诺·卡顿写的《发光体》。 每年，哈特教授都会和朋友一起速读入围书单。 当年，当她读到《发光体》全书四分之三时，她发现这本书藏着数学玄机：往后翻，各章节长度以几何量级缩短。 她还发现这本书和数字"12"有着紧密联系——全书有十二个章节，对应黄道十二星座，每个星座又一个书中的主要角色。

?谈到阅读体验，哈特教授认为这种精巧的结构具有震撼人心的效果。 她说：“随着结构的不断凝练，故事的张力随之放大。” 两个主角——"发光体"，似乎陷入了命运的轮回。 “那种无处可躲的无力感，紧紧缠绕着这个爱情故事的核心。”

她补充说：“游戏设计者只要不是画蛇添足般加入这些限制条件和数学结构，游戏机制就是最刚刚好的。”数学家不会那样做的，我们不会无缘无故地硬想出某些不太高明的智力游戏中的机制。我们做的是，发现眼前横亘的结构原理，并用心探索。” 

上个学期，哈特博士在伯克贝克大学开始了“数学探索”这门课程的第一阶段教学。在课堂上，学生们体会到了数学研究的真正乐趣所在，其中之一是学会适应不确定性。

她说：“做数学，就是在不理会周遭变化、不考虑如何应对的状态下畅游于数字间，在不经意间发现了通途。”

寻找「通途」通常意味着对你面对的问题嵌套结构、加之条件约束。哈特博士说，这种张力，介于得到最广泛意义上的结果和成功求证一个事物之间。 她说：“你可以就手头那特定的案例运算证明出上百个垃圾一样的定理，但那是没人会在意的。因为你的那些证明以及定理，并不能在更广泛的层面产生任何启示和应用。”  “理论结构能够支撑你的观点已足矣，太多只会作茧自缚。”

在为准备格雷沙姆学院演讲所筛选的文学作品中，哈特教授最喜欢的是《白鲸记》。 在书中对大型捕鲸器“炼炉”的描述中，我们能找到梅尔维尔借用数学原理最妙的段落。 这些容器大到水手们都可以“蜷缩在其中小憩”。同时，这些巨大的容器也是供人进行“深度数学思考”的好地方。正如以实玛利记录的那样，“在裴廓德号左舷的炼炉中，滑石在我周围盘旋，这时我震惊于一个确定不移的事实：在几何学上，所有物体都沿着摆线滑行。就拿我的这颗滑石来说，它从任意一个点滑下来，都会以相同的时间滑到底部。”

哈特博士说：“这就好像梅尔维尔对读者说，’我好歹还是懂一些几何的’，因为这个下落问题是一个著名的几何问题。这个问题也叫“等时降落”——无摩擦物体在重力作用下滑动到曲线轨迹的最低点，所花费的时间与起点无关。”

该曲线称为摆线，是由圆或轮沿直线滚动时的圆周上的一个点产生的。 哈特博士说：“梅尔维尔就这么把摆线放到了小说里。”

另外，乔治·艾略特（玛丽·安妮·伊凡斯笔名）所借用的数学典故也让哈特教授深深着迷。艾略特在她的第一本小说中写到，亚当·贝德似乎“在数学的永恒真理中寻找某种慰藉。在父亲去世后，贝德从“四的二次方等于十六”这种思考过程中获得些许疗愈。不管是痛苦还是快乐的时刻，一个人要学会根据所背负的困难压力，去等比例寻找解决方法。”

艾略特似乎也从她自己的数学素养中获得了慰藉。1849年，艾略特在一封题为“健康不再”的通信中写到了自我坚守的方法：“我会散步，弹一会儿钢琴，读伏尔泰的书，与朋友交谈，以及，每天服用 ‘一剂数学’ 以防大脑变得非常迟钝。”

 哈特博士说：“每个人都应该这样做！”